Hallo Finn,
was mich immer wieder ärgert, ist dass die Sozialhilfeträger immer noch sagen „Also WIR sind nicht zuständig, versuchen Sie es mal woanders…!“ 
. Es ist eigentlich schon lange klar geregelt, dass sie den Antrag an die ihrer Ansicht nach zuständigen Sozialhilfeträger weiterleiten müssen, damit der Betroffene bzw. die Eltern eben nicht weiter auf die Suche gehen müssen. Das Vorgehen haben wir in diesem Beitrag skizziert.
In eurem Fall ist ja OFFENSICHTLICH, dass die Fahrt benötigt wird.
Im SGB I ist auch klar geregelt, dass ab dem Erstantrag (auch beim falschen Träger) der Antrag gestellt ist und damit ggf. auch ein anderer Träger rückwirkend bezahlen muss. Nur ist man natürlich immer unsicher, ob das dann wirklich bezahlt wird, ob hinterher Kürzungen vorgenommen werden, weil z.B. statt eines Taxis nur ein Sammeltransport bezahlt wird. Das ist wirklich eine blöde Situation - v.a. weil es eigentlich ja darum geht, dass das Kind wieder auf die Beine kommt und in der Schule nichts verpasst.
Viel Kraft dir weiterhin und alles Gute für deinen Sohn!
Viele Grüße,
Holger